Một biểu đồ minh họa mối quan hệ giữa tọa độ cực và tọa độ DescartesMột đường cong trong mặt phẳng Descartes có thể được ánh xạ lên tọa độ cực. Trong hình ảnh động này, y = sin ⁡ ( 6 x ) + 2 {\displaystyle y=\sin(6x)+2} được ánh xạ thành r = sin ⁡ ( 6 θ ) + 2 {\displaystyle r=\sin(6\theta )+2} . Nhấp vào hình để xem chi tiết.

Các tọa độ cực r và φ có thể được chuyển đổi sang tọa độ Descartes x và y thông qua các hàm lượng giác sin và cosin:

x = r cos ⁡ φ , y = r sin ⁡ φ . {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ,\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}}

Ngược lại, các tọa độ Descartes x và y có thể được chuyển đổi sang tọa độ cực r và φ với r ≥ 0 và φ nằm trong khoảng (−π, π] theo công thức:[12]

r = x 2 + y 2 {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\quad } (như trong định lý Pythagoras hoặc tiên đề Euclid), và φ = atan2 ⁡ ( y , x ) , {\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} (y,x),}

với atan2 là một biến thể phổ biến của hàm số arctan được định nghĩa là:

atan2 ⁡ ( y , x ) = { arctan ⁡ ( y x ) khi  x > 0 arctan ⁡ ( y x ) + π khi  x < 0  và  y ≥ 0 arctan ⁡ ( y x ) − π khi  x < 0  và  y < 0 π 2 khi  x = 0  và  y > 0 − π 2 khi  x = 0  và  y < 0 KXĐ khi  x = 0  và  y = 0. {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{khi }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{khi }}x<0{\mbox{ và }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{khi }}x<0{\mbox{ và }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{khi }}x=0{\mbox{ và }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{khi }}x=0{\mbox{ và }}y<0\\{\text{KXĐ}}&{\mbox{khi }}x=0{\mbox{ và }}y=0.\end{cases}}}

Nếu r được tính như trên thì hàm của φ có thể được phát biểu như sau, sử dụng hàm arccos:

φ = { arccos ⁡ ( x r ) khi  y ≥ 0  và  r ≠ 0 − arccos ⁡ ( x r ) khi  y < 0 KXĐ khi  r = 0. {\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arccos \left({\frac {x}{r}}\right)&{\mbox{khi }}y\geq 0{\mbox{ và }}r\neq 0\\-\arccos \left({\frac {x}{r}}\right)&{\mbox{khi }}y<0\\{\text{KXĐ}}&{\mbox{khi }}r=0.\end{cases}}}

Giá trị của góc φ ở trên là giá trị chủ yếu của hàm số phức arg áp dụng cho x + iy. Có thể thu được một góc trong khoảng [0, 2π) bằng cách cộng 2π vào giá trị của nó trong trường hợp nó âm.